Identity and Equivalence, Negation and Alternation

Cette conception classique de l'équivalence a pour conséquence que l'ensemble S est découpé ou partitionné en plusieurs classes appelées les classes d'équivalence dans S pour la relation considérée. Une classe est constituée d'éléments équivalents entre eux, mais qui ne sont équivalents à aucun élément d'une autre classe. Autrement dit, les classes sont bien séparées entre elles, et aucun élément de S ne peut appartenir à deux classes différentes. On dit dans ce cas que les classes sont disjointes. Et l'ensemble des classes pour la relation d'équivalence considérée est actuellement appelé l'"ensemble quotient" pour cette relation...

Pas de panique, cher visiteur, si vous n'êtes pas versé dans les mathématiques! Pour sortir de ce genre d'abstraction qui caractérise les mathématiques actuelles et commencer à aborder les choses de manière beaucoup plus simple et concrète, illustrons tout de suite tout cela par un exemple de relation d'équivalence dans la vie courante, qui répond à cette conception des choses.

Considérons par exemple l'ensemble S de la population française, et définissons sur cet ensemble la relation ≡ suivante : "X est de la même race que Y". On vérfie très facilement qu'il s'agit d'une relation d'équivalence.

En effet :
1- Réflexivité : X ≡ X (toute personne de la population est de la même race qu'elle-même)
2- Symétrie : si X ≡ Y alors Y ≡ X (si X est de la même race que Y, alors Y est de la même race que X)
3- Transitivité : si X ≡ Y et si Y ≡ Z, alors X ≡ Z (si X est de la même race que Y et que Y est de la même race que Z, alors X est de la même race que Z).

La relation ainsi définie est donc une relation d'équivalence, car elle vérifie les trois axiomes de l'équivalence. Et alors dans ce cas, les classes d'équivalence sont tout simplement les sous-ensembles de la population française constitués par les personnes de même race : les blancs d'un côté, les noirs d'un autre côté, les arabes de leur côté, les asiatiques de leur côté, etc. Chacun est équivalent du point de vue de cette relation à un membre de sa classe, mais pas à un membre d'une autre classe. Il reste maintenant à imaginer le problème que cela pose pour les métisses, nés d'un parent noir par exemple et d'une mère blanche. Où les classer dans selon cette logique partition ? Dans la classe des noirs ou dans la classe des blancs ?

Considérons maintenant un deuxième exemple, qui concerne la conception actuelle de l'égalité (soit dit en passant, ce magnifique mot égalité est le deuxième mot de la devise de la république française : "Liberté, Egalité, Fraternité"...)

On vérifie très facilement que l'égalité habituelle, notée =, peu importe l'ensemble S dans lequel on la considère, vérifie les trois axiomes fondamentaux de l'équivalence.

En effet on a les trois vérités suivantes, que tout le monde applique très naturellement, sans y penser :
1- Réflexivité de l'égalité : X = X (toute chose X est égale à elle-même)
2- Symétrie de l'égalité : si X = Y alors Y = X
3- Transitivité de l'égalité : si X = Y et si Y = Z, alors X = Z.

L'égalité est donc évidemment une relation d'équivalence. Et maintenant, posons-nous cette simple question : "Que sont les classes d'équivalence dans le cas de l'égalité actuelle" ?

Très simple : dans cette conception de l'égalité, chaque individu de l'ensemble S sur lequel on raisonne forme une classe dont l'unique élément est lui seul. En effet, dans ce paradigme, une chose n'est égale qu'à elle-même. Toute égalité avec une chose différente est interdite.

Par exemple, actuellement, on doit dire seulement des choses comme 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2, etc. mais jamais 0 = 1 ou 7 = 40000!

Cette conception de l'égalité est ce qu'il faut appeler très exactement l'Identité. Les classes actuelles d'égalité sont seulement les classes d'identités, réduites chacune à un seul individu. Cette philosophie qui consiste à dire en général que chaque chose n'est égale qu'à elle-même, n'est pas autre chose qu'une philosophie sociale qui dirait que chaque individu de la société n'est égal qu'à lui-même et pas à un autre. Si par exemple on se place dans l'ensemble S des français, le blanc n'est pas le noir ou l'arabe... Si ensuite on se place dans l'ensemble S des blancs, le riche n'est pas le pauvre... Et si on se place dans l'ensemble des blancs riches, on les différenciera de la même façon par un autre critère, le nombre de leurs palais ou de leurs jets, etc. Et cette différenciation ne s'arrête que quand on arrive aux individualités, bref aux classes d'identités...

Quand cette conception de l'égalité ou de l'équivalence ne s'applique qu'aux choses abstraites (comme par exemple les nombres en mathématiques), on ne réalise pas à quelle point c'est mauvais, ou en tout cas contraire à la logique fondamentale de l'Univers, comme on va maintenant le voir. En effet, c'est tout simplement la modélisation mathématique des choses comme le racisme, le sectarisme, la ségrégation, l'apartheid, l'individualisme, etc. Les mathématiques et les sciences ne sont que le reflet de la psychologie des personnalités qui ont dominé les sciences jusqu'ici. On peut aujourd'hui introduire le simple adage suivant : "Dites-moi comment vous concevez l'égalité et je vous dirai qui vous êtes"...

La Science de l'Univers TOTAL repose quant à elle repose sur une toute autre psychologie, une toute autre logique. Cela signifie aussi une toute autre conception de l'équivalence, de l'égalité, de l'identité. Parce qu'on travaille maintenant dans l'Univers TOTAL (ou Ensemble de toutes les choses) U, on aborde la question de l'équivalence (et toutes les autres questions) d'une manière globale !

A partir de maintenant donc, notre unique ensemble S de définition et d'étude de l'équivalence sera simplement U, c'est-à-dire donc l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses. Nous allons procéder d'une manière inverse à la manière actuelle, exposée plus haut: nous n'allons pas définir isolément une relation d'équivalence et chercher ensuite ses classes d'équivalences (ou "ensemble quotient"), mais nous allons dire d'abord ce que sont d'une manière générale les classes d'équivalence dans U, et ensuite nous donnerons une définition générale de l'équivalence avec les classes de U.

D'abord, les classes d'équivalence de l'Univers TOTAL U sont tout simplement...les ensembles! L'ensemble des humains, l'ensemble des blancs, l'ensemble des noirs, l'ensemble des arbres, l'ensemble des cailloux, l'ensemble des atomes, l'ensemble des protons, l'ensemble des neutrons, l'ensemble des électrons, l'ensemble des planètes, l'ensemble des galaixies, l'ensemble des univers, etc.,

Ce sont autant de classes d'équivalences, celles de l'Univers TOTAL. Et contrairement à la conception actuelle de l'équivalence, ces classes ne sont pas nécessairement disjointes, ce ne sont pas des partitions. Une chose peut tout à fait appartenir à deux classes différentes. On a les réunions des classes, les intersections des classes, etc. Et l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses, est tout simplement la plus grande des classes d'équivalence!

Les classes d'équivalence étant maintenant posées de manière globale (à l'échelle de l'Univers TOTAL), on peut maintenant définir la nouvelle notion d'équivalence. Voici sa très simple définition :

Par exemple, si A est un humain blanc et B un humain noir, ils ne sont équivalents si on se place seulement dans l'ensemble des humains blancs ou dans l'ensemble des humains noirs. Ces deux ensembles les distinguent, expriment leur spécificité, leur identité.

Mais il n'y a pas que l'identité ou les facteurs de différence qu'il faut considérer. Il existe un ensemble plus grand que celui des humains blancs ou des humains noirs, à savoir tout simplement l'ensemble des humains, sans distinction de la couleur de la peau. Les deux humains dont nous parlons sont donc avant tout... deux humains, et ils sont tout simplement équivalents de ce point de vue!

On remarquera que dans le langage naturel, on exprime simplement l'appartenance d'une chose A à un ensemble E, sous la forme : "A est un e", où "e" est le nom commun des éléments de E, comme par exemple humain, arbre, fleur, etc. D'où cette deuxième version de la définition de l'équivalence.

Si pour deux choses A et B on ne trouve aucune classe d'équivalence pour elles (et en fait il en existe toujours, et même une infinité !), il reste alors l'ultime classe d'équivalence, l'Univers TOTAL. La propriété commune à tous les éléments de l'Univers TOTAL (l'Ensemble de toutes les choses) est simplement la propriété : "chose" :
"A est une chose" et "B est une chose" (en Verba : "A er an ux" et "B er an ux")

La nouvelle conception de l'égalité est tout simplement l'équivalence que nous venons de présenter, et qui a pour classes d'équivalence les ensembles. Autrement dit, l'ensemble quotient de cette notion d'équivalence est l'Univers TOTAL. Cette notion d'équivalence (ou d'égalité) est infiniment plus puissante et plus féconde que la conception étroite actuelle.

Quant à la notion d'identité, elle est un cas très particulier (un cas extrême) d'équivalence. Dans les trois axiomes de la classique relation d'équivalence présentée plus haut, le premier axiome (la réflexivité) qui dit que X ≡ X ou X = X est justement la partie identité de l'équivalence. Autrement dit, au lieu de l'appeler l'axiome de réflexivité, on aurait dû simplement l'appeler l'axiome d'identité. Son unique but est traiter du cas très particulier où l'on ne parle pas de deux choses distinctes A et B, mais d'une seule et unique chose déisgnée par deux noms différents A et B. Dans ce cas, par A = B il faut entendre A = A et B = B.

Par exemple, l'identité ne s'applique pas à deux choses distinctes comme 0 et 1 par exemple. Elle interdit très normalement de dire 0 = 1, mais seulement 0 = 0 et 1 = 1. Mais raisonner seulement en termes d'identité au lieu de l'équivalence que nous venons de présenter, conduit tout simplement inévitablement à nier l'Univers TOTAL dans les sciences. C'est ce qui s'est passé jusqu'à aujourd'hui.

Résumons maintenant de manière plus technique la nouvelle notion d'équivalence, d'égalité ét d'identité.