La Théorie universelle des ensembles

Le présent sous-titre a simplement pour but d'expliquer la méthodologie technique adoptée pour la nouvelle théorie des ensembles, de la situer par rapport aux méthodologies et aux logiques scientifiques actuelles.

Nous appelons méthode théorématique (adjectif du mot "théorème") la méthodologie scientifique que nous allons adopter dans la Théorie universelle des ensembles. Elle s'oppose radicalement à l'actuelle méthodologie dite axiomatique (adjectif du mot "axiome") employée actuellement en mathématiques. Mais la théorématique s'oppose aussi à la méthodologie hypothétique (c'est-à-dire la science faite en avançant des hypothèses à vérifier ensuite par l'expérience) ou expérimentale ou empirique, comme on le fait actuellement en physique.

Cela ne veut pas du tout dire que la présente théorie ne repose pas sur l'expérience ou n'a pas le souci d'être en accord avec la réalité. Bien au contraire! Cela signifie tout simplement que la théorématique est une toute autre manière d'aborder la réalité et l'expérience, de faire la lecture de l'Univers et des choses. Beaucoup de grandes vérités de l'Univers sont directement accessibles, si nous observons avec la bonne logique (c'est là le fond du problème...) les choses qui nous entourent, que vous voyons, entendons, touchons, sentons, goûtons, etc. Et la logique en question est précisément celle de la structure fractale, celle que nous enseigne un simple arbre, le chou de Romanesco, une feuille de fougère, un flocon de neige, etc.

La théorématique peut se résumer par cette question: "Pourquoi faire compliqué quand on peut faire infiniment plus simple?" Tandis que l'axiomatique ou la méthodologie hypothétique, peut se résumer par la question inverse: "Pourquoi faire simple quand on peut faire infiniment plus compliqué?" Compliqué et inefficace... Simple et efficace...

La méthodologie axiomatique...

La méthode axiomatique consiste (une fois les éléments de langage et les définitions initiales établis) à poser au départ un certain nombre d'énoncés non démontrés appelés les "axiomes", qui serviront à démontrer les autres appelés les "théorèmes" de la théorie. Et le grand souci de la méthode axiomatique est que la théorie obéisse au fameux principe de non-contradiction (Wikipedia) énoncé par Aristote, c'est-à-dire que la théorie ne se contredise pas, qu'elle soit "consistante" comme on dit techniquement. La logique de référence pour faire les démonstrations est la logique classique (Wikipedia), qui repose sur les principes posés par Aristote. C'est ainsi qu'est réalisée la Théorie axiomatique des ensembles (Wikipedia), comme par exemple celle de Zermelo-Fraenkel (1922), couramment appelée ZF. C'est la théorie des ensembles de référence jusqu'à aujourd'hui.

Beaucoup d'autres logiques existent pour faire les démonstrations, comme par exemple la logique intuitionniste (Wikipedia). Celle-ci refuse l'un des principes clefs de la logique classique (le principe du tiers exclu) mais fonctionne aussi avec le principe de non-contradiction, comme la logique classique. Nous appelons globalement "logique traditionnelle" ou "logique classique" (au sens général du terme) toutes les logiques reposant sur le principe de non-contradiction. Ce principe n'est en fait valable que dans des contextes restreints, mais est complètement faux dès qu'il s'agit de parler du contexte général qu'est l'Univers! La science qui fonctionne avec ce principe est alors faussée dans ses bases même, elle ne peut que nier l'Univers TOTAL (voir L'Univers TOTAL, le nouveau Paradigme de la Science).

La méthodologie théorématique...

A l'opposé de la science axiomatique ou des hypothèses, la méthodologie théorématique consiste tout simplement à bâtir toute la théorie sur un objet de la réalité, sur un modèle concret existant, donc qui est d'office un théorème! Et tout ceci sera ensuite énoncé sur cet objet sera aussi un théorème, puisqu'on énonce simplement les propriétés de cet objet, ses caractéristiques, son fonctionnement, etc.

Par exemple, la théorie peut se fonder sur : l'Arbre et sa structure, la Fractale de Julia, le Corps humain, le Cerveau, l'Ordinateur, Internet, etc. Elle peut aussi consister à étudier le Système de numération unaire ou Système alphabétique unaire. Cela signifie l'ensemble des nombres écrits avec un seul chiffre, 1 par exemple (1, 11, 111, 1111, ...), ou l'ensemble des mots écrits avec une seule lettre, U par exemple (U, UU, UUU, UUUU,...). Il s'agit de la structure fractale la plus élémentaire qui soit, celle qui est la base de toutes les autres et en particulier de la plus grande des structures fractales: l'Univers!

la Théorie universelle des ensembles repose donc sur un modèle concret, un objet qui de ce fait est d'office un théorème! En l'occurrence, elle repose sur l'Univers et sur les objets concrets de l'Univers. Et c'est l'Univers lui-même qui indique sa logique propre, donc la logique avec laquelle il faut l'étudier. Pour cela, il suffit qu'il soit correctement défini, comme on aurait dû le faire, comme premier acte fondateur de la science. C'est ainsi que nous procédons dans la méthodologie théorématique.

De grandes vérités de l'Univers découlent directement et très simplement de sa définition. La simple définition de l'Univers qui s'impose d'elle-même est: l'Ensemble de toutes les choses! De cette simple définition découle immédiatement la structure de l'Univers, sa logique, celle avec laquelle il faut raisonner: la logique fractale. Cette logique nous est enseignée par le très simple système de numération unaire, mais aussi par l'observation très attentive d'un simple arbre!

Le mot clef le plus général et le plus fondamental de la Théorie universelle des ensembles est le mot chose, en anglais thing, en Verba ux ou simplement x.

Le "X" signifie que ce mot joue exactement le même rôle que la célèbre variable "X", qui sert à désigner potentiellement tous les objets d'un ensemble donné, ensemble qui est son "domaine de variation". Par exemple, si on travaille dans l'ensemble R des nombres réels, alors "X" désigne potentiellement n'importe quel nombre réel, c'est-à-dire un nombre qu'on ne précise pas. On peut éventuellement le préciser (en disant par exemple "X = 0", "X = 4" ou "X = -53") ou travailler avec "X" dans toute sa généralité, dans les formules par exemple.

C'est exactement le rôle du mot UX pour dire CHOSE en Verba. X indique que c'est une variable, et U indique que son domaine de variation est l'Univers TOTAL U. C'est le nom commun le plus général dans la Théorie universelle des ensembles, la notion ou le mot qui désigne potentiellement tout et absolument tout!

Cette notion généralise toute autre notion, tout autre mot. Par exemple : "Un humain est une chose", "Un nombre est une chose", "Une galaxie est une chose", "L'amour est est une chose", "Dieu est une chose", etc. A l'inverse, toute autre notion ou mot précise ce mot général. Par exemple : "Cette chose est un humain", "Cette chose est un nombre", "Cette chose est une galaxie", "Cette chose est l'amour", "Cette chose est Dieu", etc.

A partir du mot clef chose, on définit donc la notion générale d'ensemble et d'élément ainsi :

Cette définition physique de la notion d'ensemble est la plus générale qu'on puisse énoncer. Elle s'applique même aux choses considérées (à tort comme on va le voir) comme étant purement abstraites, de nature purement mentale, et qui n'auraient aucune nature physique, comme par exemple les nombres. Considérons pour cela l'ensemble E des nombres entiers de 0 à 5. On a donc : E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. On dira simplement qu'il est la chose physiquement constituée des six choses : 0, 1, 2, 3, 4, 5. Peu importe donc la nature des choses qui constituent d'autres choses. Cela n'enlève rien à cette définition physique des ensembles, qui est donc extrêmement générale (on en reparlera dans la partie consacrée aux ensembles physiques et informatiques).

N'oublions pas que nous parlons des ensembles physiques ou informatiques, des ensembles concrets, de l'Univers et de ses objets, et non pas d'objets abstraits, des constructions seulement de la pensée, des purs produits uniquement des axiomes, comme dans les traditionnelles théories des ensembles. Donc l'auto-appartenance dont nous parlons n'est pas une notion abstraite, mais signifie quelque chose de précis sur le plan physique qu'il faut commencer à comprendre maintenant. Elle signifie tout simplement que l'Univers TOTAL a une structure fractale.

Une manière très simple de réaliser un ensemble informatique qui vérifie cette propriété d'auto-appartenance de l'Univers TOTAL est par exemple de créer sur votre ordinateur un dossier nommé U. Dans ce dossier mettez des fichiers, par exemple trois images nommées A, B et E. Et créez dans ce dossier un nouveau dossier nommé lui aussi U, et dans lequel vous allez mettre des copies des mêmes fichiers A, B et E. Puis vous créerez dans celui-ci aussi un nouveau dossier que vous allez nommer U, et ainsi de suite.

Maintenant que l'Univers TOTAL est défini, nous pouvons commencer à travailler dans cet Ensemble. Il simplifie énormément les choses, et il est un cadre de travail très confortable!

Dans la théorie axiomatique des ensembles (comme par exemple celle appelée ZF), voici la formule de l'Axiome de l'Ensemble Vide : "∃Y∀X(X ∉ Y)". Cette formule dit simplement qu'il existe un ensemble n'ayant aucun élément. A l'opposé, si on veut énoncer de la même façon l'Axiome de l'Ensemble Plein, il faut écrire la formule: "∃Y∀X(X ∈ Y)". Elle signifie qu'il existe un ensemble ayant tout ensemble pour élément. Donc en particulier, cet ensemble est élément de lui-même (auto-appartenance). En d'autres termes, cette formule dit simplement qu'une chose comme l'Univers TOTAL existe.

Mais il n'est pas nécessaire de travailler avec des formules de ce genre pour énoncer des vérités aussi fondamentales. Les formules deviennent complexes (ce qui ne veut pas forcément dire compliquées) quand on se spécialise, quand on quitte le domaine fondamentale pour un domaine spécialisé, comme par exemple le calcul du volume du duodécaèdre, la dynamique d'un tesseract, la trajectoire d'une navette spatiale ou les formules de la machine à voyager dans le temps...

Les formules complexes arriveront donc quand il s'agira de traiter d'un aspect très spécifique de la Science de l'Univers TOTAL et de la technologie qu'elle introduit. Mais pour l'instant, il est question d'établir les lois fondamentales et générales de l'Univers TOTAL, et celles-ci n'ont aucune raison d'être compliquées. Bien au contraire ces théorèmes ou ces lois fondamentales sont très simples! L'Univers TOTAL n'est pas une affaire d'axiomes, mais demande simplement à être correctement défini. Et alors il en découle immédiatement la loi d'auto-appartenance et par conséquence a une structure fractale, comme nous venons de le faire.

Il n'est pas facile de représenter une structure fractale en 4 dimensions, à plus forte raison en 5 dimensions, 6, etc., jusqu'à la structure en une infinité de dimensions, qui est celle de l'Univers TOTAL! Celui-ci est un ensemble physique dynamique, une structure fractale qui bouge, qui vit! Mais pour décrire ses lois les plus fondamentales, il est amplement suffisant d'utiliser des structures fractales statiques en 3 dimensions (comme l'Eponge de Menger ci-dessus), en 2 dimensions comme le Triangle de Sierpinski, ou même seulement en une dimension comme la Générescence U_1D:

La Générescence U_1D nous suffit à élaborer le Verba, le langage informatique de l'Univers TOTAL, et aussi la langaue de l'Univers TOTAL. Le Verba est le reflet fidèle de ses propriétés fondamentales très simples, de sa structure, de sa logique, que nous commençons maintenant à découvrir petit à petit.

Pour permettre d'apprendre rapidement l'Univers TOTAL à travers son langage et sa langue, un alphabet régulier et cyclique de 40 lettres a été adopté pour le Verba (20 consonnes et 20 voyelles), ainsi qu'une prononciation régulière indiquée dans l'Alphabet Phonétique International ou API. L'alphabet du Verba est l'ABECIDO, dont le début est indiqué ci-dessus (pour plus de détails, voir Le Verba : la Linguistique universelle, la Langue universelle).

Un certain nombre de conventions ont été adoptées dans le Verba. Ainsi, la lettre pour parler d'un ensemble en général est E. Et les mots pour désigner les notions générales des ensembles ont comme voyelle principale la lettre E, par exemple : SET ("ensemble"), EL ("élément"), ER ("verbe être"), EX ("existence" ou "chose appartenant à un ensemble"), etc.

La lettre pour parler de l'ensemble spécial qu'est l'Univers TOTAL est U. Et les mots pour désigner les notions relatives à l'Univers TOTAL (notions dites pour cela universelles ou absolues) ont comme voyelle principale la lettre U, par exemple : SUT ("ensemble physique"), UL ("constituant"), UR ("verbe absolu être"), UX ("chose"), etc.

La phrase "e est un élément de E" se dit en Verba : "e er an el of E" ou "e eranelof E".
Et "e appartient à E" se dit : "e elar E" ("ar" est l'opérateur verbal général, qui transforme n'importe quel mot comme par exemple "el" en verbe).
Si on avait en français le verbe "élémenter" pour dire "être un élément de" comme on a le verbe "constituer" pour dire "être un constituant de",
cela donnerait exactement le sens du verbe "elar".

L'énoncé "e est un constituant de E" se dit : "e er an ul of E" ou "e eranulof E".
Et "e constitue E" se dit : "e ular E".

Les relations mathématiques possèdent en général une relation réciproque; par exemple ">" ("supérieur") est la réciproque de "<" ("inférieur"). Dire par exemple que "3 < 5" c'est dire que "5 > 3". En Verba, tout verbe qui exprime une relation entre deux choses a de la même façon un verbe réciproque.

Si e ∈ E, alors on écrit aussi : E ∋ e, ce qui se dit : "E possède e", en Verba : "E zielar e" ("zi" signifie "réciproque").
Mais la même idée peut simplement se dire : "E setar e", "setar" qui se dirait en français "ensembler".

Mais le Verba permet aussi d'exprimer la réciproque d'une autre manière simple, en inversant l'ordre des lettres des mots courts les plus fondamentaux, comme c'est la cas de "EL" par exemple. La réciproque de "EL" est "LE", et donc dire que "e er an el of E", c'est dire que "E er an le of e". Le mot "le" introduit, on a aussi automatiquement introduit son verbe "lear". Et donc, "E er an le of e" peut se dire aussi : "E lear e", qui veut donc dire : "E possède e".

C'est la même logique pour les termes en "U". Par exemple "E ziular e" ou "E sutar e" ou "E luar e" est à comprendre : "E est constitué entre autres de e", etc.

Récapitulons la notion d'ensemble et d'élément avec la définition suivante:

Le verbe ETRE (en Verba "ER") est le verbe fondamental du langage des ensembles. Ce verbe est tout simplement synonyme de la relation d'Egalité, fondamentale en science. En effet, "A = B" signifie simplement "A EST B", en Verba "A ER B".

La seconde relation fondamentale du langage des ensembles est la relation d'Appartenance, celle qu'on vient de voir en détail. Elle s'exprime simplement par un énoncé de la forme "A EST UN B", en Verba "A ER AN B". Ceci est tout simplement une autre approche de la notion d'ensemble et d'élément, l'approche par le langage, par le Verba. Nous parlons alors d'apporoche "verbatique" (adjectif de "Verba").

Par exemple, si on considèle le nom commun "humain" (qui se dit en Verba "hum"), alors dire que "A est un humain" (en Verba "A er an hum"), c'est dire que "A est un élément de l'ensemble de tous les humains". Autrement dit, le mot "humain" définit verbatiquement l'ensemble de tous les humains, qui est un ensemble verbatique ou quantique.

Cela veut dire que les éléments de cet ensemble sont les unités d'un même modèle, le modèle "humain". C'est comme si tous sortent d'un certain même moule dont la spécialité est de fabriquer les humains en série, de fabriquer des copies d'un modèle nommé "humain". Chaque élément de cet ensemble quantique est une occurrence de la notion "humain", de sorte qu'il suffit d'avoir vu un pour savoir ce qu'est un humain.

Comme pour le mot "humain", les noms communs suivants définissent chacun un ensemble verbatique ou quantique: arbre, oiseau, ange, démon, caillou, molécule, atome, particule, proton, neutron, électron, boson, quark, planète, étoile, galaxie, univers, etc. Et le roi de tous les noms communs est tout simplement le mot chose! C'est en effet le nom commun le plus général de la Théorie universelle des ensembles.

Nous adoptons la convention suivante, qui est essentiellement d'ordre pratique, mais aussi qui répond à la logique des ensembles, qui est celle de l'Univers TOTAL: un nom commun sera en général écrit en minuscule, sauf si une raison spéciale oblige à l'écrire autrement. Et un mot en majuscule (sauf précision contraire) désigne en général soit une chose précise, un individu, soit un ensemble verbatique. Celui-ci est à prendre comme un seul individu, et c'est ce qu'il est! En effet, c'est le sens même de la notion d'ensemble, à savoir plusieurs choses prises comme une seule chose, un seul individu.

Par exemple, "Théophile" désigne un humain particulier, donc le mot "Théophile" est en majuscule. Mais Théophile est un humain, le mot "humain" est un nom commun, donc il est écrit en minuscule. Théophile est un élément de l'ensemble de tous les humains, l'ensemble verbatique défini par le nom commun "humain". Cet ensemble est une chose particulière, donc un nouvel individu noté par défaut "Humain" (en majuscule), à défaut donc de lui donner éventuellement une autre appellation. Cet ensemble "Humain" est une chose, le mot "chose" est en minuscule car c'est un nom commun, en l'occurrence le nom commun le plus général. Il définit verbatiquement l'ensemble de toutes les choses qui est tout simplement l'Univers TOTAL, noté U. S'il n'avait pas reçu un nom spécial, son nom par défaut aurait simplement été "Chose" (en majuscule), parce qu'il est l'ensemble verbatique défini par le nom commun "chose".

Et enfin l'Univers TOTAL U est lui-même une "chose". Autrement dit on a la vérité simple suivante: "U est une chose", en Verba : "U er an ux". Donc l'Univers TOTAL U est un élément de l'ensemble de toutes les choses, c'est-à-dire tout simplement il est un élément de lui-même: U ∈ U. Nous retrouvons ainsi l'auto-appartenance de l'Univers TOTAL par la voie verbatique. Non seulement cela, elle apparaît comme l'expression même du terminus des ensembles verbatiques, elle signifie que l'on a atteint le plus grand de tous les ensembles, l'aboutissement du Verba, le langage universel des ensembles. Une théorie des ensembles ou un langage des ensembles qui n'aboutit pas à ce terminus obligé et à la loi U ∈ U, est incomplète!

Et maintenant une remarque d'une très grand importance:

est écrit en général en minuscule, et l'ensemble verbatique correspondant est écrit en majuscule. Cette convention est simplement d'ordre pratique: une fois qu'on a le nom commun, cela évite d'introduire à chaque fois un nouveau nom ou symbole pour désigner l'ensemble verbatique correspondant, par exemple H pour désigner l'ensemble de tous les humains. On dira alors simplement "Humain" (en majuscule), et on sait tout de suite à quel nom commun il correspond, en l'occurrence "humain". Ainsi, le nom en majuscule (l'ensemble donc) sert aussi à désigner la notion ou le modèle dans toute sa généralité, et un élément de cet ensemble est un réprésentant de la notion ou du modèle, une occurrence, un quantum, une unité.

De même par exemple, l'ensemble de toutes les étoiles est appelé "Etoile", et une étoile particulière (comme par exemple l'Etoile polaire)

Un humain particulier comme Théophile par exemple est lui aussi un ensemble, un corps fait d'une tête, de thorax, de membres, d'organes, etc. Mais à la différence de l'ensemble verbatique qu'est l'ensemble des humains, Théophile n'apparaît pas comme étant un ensemble verbatique ou quantique. En effet, à première vue ou à l'échelle ordinaire, Théophile ne semble pas comme être constitué de quanta, d'objets semblables répondant à un même modèle et pouvant être désignés par un seul nom commun. C'est quand on examine Théophile à des échelles infiniment petites que ces quanta apparaissement, d'abord par exemple les cellules, puis les molécules, puis les atomes, puis les particules, etc.

Si l'on considère ce nom commun "chose" (qui se dit en Verba "ux"), alors dire que "A est une chose" (en Verba "A er an ux"), c'est dire que "A est un élément de l'ensemble de toutes les choses". Cet ensemble spécial associé au nom commun "chose" est appelé l'Univers TOTAL, et noté U. Autrement dit, le mot "chose" définit verbatiquement l'Univers TOTAL, l'ensemble de toutes les choses.

A l'inverse, si on a un certain ensemble quelconque E donné, on peut toujours introduire un nouveau nom commun comme par exemple "elofe", qui a exactement le sens de l'expression : "élément de E", qui se dit en Verba: "el of E" (d'où l'exemple "elofe" que nous avons pris). Dire alors que "e est un elofe", c'est donc dire : "e est un élément de E", en Verba "e er an el of E".

Nous arrivons maintenant à la très importante notion d'existence et au premier théorème important de la Théorie universelle des ensembles: le Théorème de l'Existence. Ici s'achèvent toutes les conceptions philosophiques subjectives de la question d'existence, ainsi que toutes les spéculations. Avec l'Univers TOTAL, la question devient extrêmement simple, claire et limpide! Elle est maintenant une affaire de science exacte, de théorème. Elle est réglée de manière absolue.

En effet, l'Univers TOTAL est par définition l'Ensemble de toutes les choses. Donc toute chose est un élément de l'Univers TOTAL. Donc toute chose existe dans l'Univers TOTAL, au sens scientifique précis de la notion d'existence qui vient d'être définie dans le langage des ensembles. L'Univers TOTAL est donc tout simplement le plus grand contexte d'existence, le contexte d'existence absolue (voir la Définition 4)

Autrement dit, quand l'existence est aboslue (c'est-à-dire quand le contexte d'existence est l'Univers TOTAL), il n'est plus nécessaire de préciser le contexte d'existence. Une phrase comme "e est une chose" se dit simplement "e est". Et inversement, si l'on ne précise pas le contexte d'existence (l'ensemble auquel est relativisée l'existence), cela signifie qu'on parle d'une existence absolue, c'est-à-dire l'existence dans l'Univers TOTAL.

D'un point de vue verbatique, l'énoncé "E ⊂ E' " (ou "E est inclus dans E' ") signifie tout simplement que le nom commun des éléments de E' est plus général que le nom commun des éléments de E. Par exemple, le mot fruit est plus général que le mot pomme. Donc si "A est une pomme" alors "A est un fruit". Autrement dit, l'ensemble de toutes les pommes est un sous-ensemble de l'ensemble de tous les fruits.

On en déduit donc que, comme le mot chose est le mot le plus général, tout ensemble U, quel qu'il soit, est donc un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les choses, c'est-à-dire donc l'Univers TOTAL, U.
On a donc : E ⊂ U.

Nous abordons maintenant un point crucial de la Théorie universelle des ensembles. Il s'agit de la trés importante notion de l'Egalité. La notion d'Egalité avec laquelle on fonctionne actuellement en mathématique et en sciences interdit de dire des choses comme : 0 = 1,   1 < 1,   1 > 1, etc., mais impose de dire seulement: 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2, etc.

Et en physique actuellement, on ne peut pas avoir une équation ou une égalité du genre : E = RI, où E est une énergie qui se mesure en J (joule), et RI une tension qui se mesure en V (volt). On dit actuellement qu'une telle égalité ne respecte pas l'"équation aux dimensions", qui impose que les deux membres de l'égalité se mesurent dans la même unité, c'est-à-dire par exemple [J] = [J], [V] = [V], etc., mais pas [J] = [V]! Les égalités comme E = mc² ou U = RI (où U désigne ici une tension...) respectent cette "équation aux dimensions".

Mais cette conception de l'Egalité uniquement de la forme X = X est ce qu'il faut appeler précisément l'Identité. Nous appelons maintenant Equivalence les égalités de la forme : X = Y, par exemple 0 = 1, E = RI ou [J] = [V]. Nous disons aussi qu'il s'agit d'égalités de type Cycle:

L'Equivalence (comme aussi la structure fractale ou le Cycle) est indissociable de la notion d'Univers TOTAL. C'est la notion d'Egalité avec laquelle nous fonctionnons dans la Théorie universelle des ensembles. Cette conception de l'Egalité est beaucoup plus générale et plus féconde. Voici les définitions techniques précises de l'Identité et de l'Equivalence.

Autrement dit simplement, deux choses A et B sont équivalentes si elles appartiennent toutes les deux à un certain ensemble commun E. Plus simplement encore, pour donner une définition verbatique de l'équivalence, les deux choses A et B sont équivalentes si elles répondent toutes les deux à un certain même nom commun, qui exprime une qualité commune. Elles sont alors équivalentes de ce point de vue.

Par exemple : "Théophile EST UN humain" et "Angélique EST UN humain"; donc Théophile et Angélique, même si l'un est un homme et l'autre est une femme, sont équivalents du point de vue de leur qualité d'humain, de leur appartenance commune à l'ensemble des humains, qui est ici l'ensemble E. On dira donc : "Théophile = Angélique" de ce point de vue.

Si A et B ne répondent pas tous les deux à un certain même nom commun, alors ils sont différents de ce point de vue, et on écrit donc : "A ≠ B". Par exemple, Théophile et Angélique ne répondent pas tous les deux au nom commun homme, et pas non plus au nom commun femme. Ils ne sont donc pas équivalents du point de vue de ces deux ensembles (ensemble des hommes ou ensemble des femmes), ces ensembles les différencient. Mais il existe toujours un ensemble qui les rend équivalents, par exemple l'ensemble des humains, ou simplement le nom commun humain. Et au pire, il y a un ensemble qui les rend équivalents, et qui est tout simplement l'Univers TOTAL.

En effet, deux choses A et B appartiennent toujours toutes les deux à l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses. Autrement dit, elles sont équivalentes du point de vue de leur qualité commune de chose. C'est l'équivalence la plus fondamentale, elle est d'une grande importance. Aucune différence n'est possible du point de vue de cette équivalence-là! En effet, il n'est pas possible de dire par exemple que "A est une chose" et que "B n'est pas une chose". Cela viole l'obligation requise pour le mot chose d'être le nom commun le plus général qui soit, celui qui définit l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses.

Autrement dit simplement, deux choses identiques sont équivalentes à tout point de vue! On ne doit noter la moindre petite différence entre les deux, le moindre ensemble où l'une est et pas l'autre, la moindre position dans l'espace ou dans le temps où l'une se trouve et pas l'autre, etc. Dans ce cas-là, cela signifie qu'on n'a pas DEUX choses physiques, mais seulement UNE SEULE chose physique. A et B ne sont dans ce cas que des noms différents pour désigner cette seule et même chose. Si donc on n'a pas UNE SEULE chose, alors c'est qu'on a deux choses distinctes.

Pour plus de détails sur l'Identité et l'Equivalence, voir Identité et Equivalence, Négation et Alternation.

Autrement dit simplement, un ensemble A a une structure fractale si A est équivalent à au moins l'un de ses éléments, d'un certain point de vue. Il s'agit d'une définition extrêmement générale de la structure fractale.

Un ensemble E peut n'avoir aucun élément; on l'appelle alors l'ensemble vide. On l'appelle aussi Alpha, et le note Ø. Cet ensemble est la définition du nombre Zéro, noté alors 0. Plus généralement, dans la Théorie universelle des ensembles, les mots du genre Rien, Vide, Zéro, Point, Particule, etc., sont parfaitement synonymes, ils sont tous maintenant regroupés sous une seule appellation commune : Alpha.

Mais attention! Nous travaillons maintenant dans le paradigme de l'Equivalence et de la structure fractale. Dans ce paradigme, la notion de Vide, de Zéro etc., est très différente de la conception actuelle de ces termes, en mathématiques comme en physique. Dans le paradigme de la structure fractale, le mot "vide" est à comprendre "infiniment petit", ou "le plus petit de tous les ensembles", ou "le premier de tous les ensembles", ou "la fondation" (allusion au classique "axiome de fondation"), ou "l'ensemble avec lequel on commence la construction de tous les ensembles", etc. Dans la nouvelle conception (qui est fractale donc), il existe toujours un autre Alpha (ou Vide ou Zéro) avant tout Alpha donné, il existe toujours un plus petit que le petit que l'on considère comme point de départ. Les deux Alpha (ou Vide ou Zéro) sont très différents, et pourtant il s'agit du seul et même Alpha! Il suffit de regarder une structure fractale pour comprendre cette logique:

A l'opposé de l'ensemble vide, on a le cas particulier où l'ensemble E est la chose constituée de toutes les choses, donc y compris elle-même! Cet ensemble (l'ensemble de toutes les choses donc) est tout simplement par définition ce que nous appelons l'Univers TOTAL, et notons U. Il est appelé l'ensemble plein, et aussi Oméga, et on le note Ω. Il est la définition du nombre Infini, noté alors ω. De même que pour l'Alpha, les mots du genre : Tout, Plein, Infini, Espace-Temps, Univers, etc., sont parfaitement synonymes maintenant. On les regroupe tous sous une seule appellation commune : Oméga.

Attention! Ici aussi, la notion de Plein, d'Infini, etc., est très différente de la conception actuelle de ces termes en sciences. Comme le montre la strcuture fractale ci-dessus, il faut entendre par là : "infiniment grand", "le plus grand de tous les ensembles", "le dernier de tous les ensembles", "l'ensemble qui termine la construction de tous les ensembles", etc. Et il existe toujours un Oméga après l'Oméga, un plus grand après le plus grand, un dernier après le dernier, etc. Cela peut paraître étrange ou paradoxal, mais c'est tout simplement la logique de la structure fractale!

La caratéristique fondamentale de U, qui découle de sa définition même, est que U est un élément de lui-même! Nous appelons cette propriété l'auto-appartenance ou le fait d'être un auto-élément (öel en Verba). On a donc : U ∈ U. Cette propriété est la base même de la structure fractale de l'Univers TOTAL.

Tous les paradoxes dont on a toujours parlé dans la théorie des ensembles sont en fait de pseudo-paradoxes. C'est le cas par exemple du célèbre Paradoxe de Russell (Wikipedia). Et les solutions apportées jusqu'ici à tous ces paradoxes sont toutes des pseudo-solutions, qui ne s'attaquent pas à la vraie cause des problèmes. Les paradoxes viennent simplement du fait qu'on travaille dans le paradigme de l'Identité, et suivant l'ontologie de l'Identité, qui est l'ontologie d'Aristote : "Une même chose ne peut pas à la fois être et ne pas être" (fameux principe de non-contradiction (Wikipedia)). Mais tous ces paradoxes disparaissent quand on change tout simplement de paradigme et que l'on raisonne désormais dans le paradigme de l'Equivalence, qui est aussi le paradigme de la structure fractale.

Le Paradoxe de Russell (encore appelé "paradoxe du barbier) est le problème d'un ensemble A dont les éléments sont exactement tous les ensembles X qui n'appartiennent pas à eux-mêmes (X ∉ X).
Et la question est de savoir si A appartient à lui-même. Le problème peut téchniquement se résumer ainsi :
X ∈ A <=> X ∉ X.
A ∈ A ?

On aboutit alors à la situation suivante : A ∈ A <=> A ∉ A.
Autrement dit, pour la question posée, si A est élément de lui-même, alors il ne l'est pas. Et s'il ne n'est pas, alors il l'est. C'est ce qu'on a appelé un paradoxe.

Mais il suffit de regarder par exemple l'ensemble A de la fractale de Sierpinski ci-dessus. Il n'appartient pas à lui-même au sens de l'identité, car aucun de ses éléments n'est identique à lui, tous sont distincts de lui. Mais A est élément de lui-même au sens de l'équivalence, car il est très facile de trouver un élément de A qui est lui aussi une fractale de Sierpinski comme A. Comme toute structure fractale, il est équivalent à une infinité de ses éléments, donc il appartient à lui-même dans ce sens-là.